题目内容

如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的
（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=
5
2
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段BC上是否存在一点D，使得S△ACD：S△ABD=2：1？若存在，求出经过点D的反比例函数的解析式；若不存在，说明理由．
（3）如图2，一个动点P自OC的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后运动到点C，求点P运动的最短路径长．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）首先解方程得出AO，CO的长，进而得出A，C点的坐标，进而利用抛物线的对称轴是直线x=
5
2
，求出解析式即可；
（2）利用S△ACD：S△ABD=2：1，由三角形同高得出CD：BD=2：1，进而利用相似三角形的性质得出D点坐标，即可得出反比例函数解析式；
（3）根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解．可做C点关于直线x=
5
2
的对称点C′，做M点关于x轴的对称点M′，连接C′M′．那么E、F就是直线C′M′与x轴和抛物线对称轴的交点，求出长度即可．
解答：解：（1）∵线段OA、OC的长度（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0的两个根，
∴解得：OA=1，CO=4，
∴A点坐标为：（-1，0），（0，4），
∵抛物线的对称轴是直线x=
5
2
，
∴-
b
2a
=
5
2
，
可得：
a-b+c=0
c=4
-
b
2a
=
5
2
，
解得：
a=-
2
3
b=
10
3
c=4
，
∴抛物线的解析式为：y=-
2
3
x2+
10
3
x+4；

（2）存在，
理由：连接ADAC，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，
∵S△ACD：S△ABD=2：1，D在线段BC上，
∴CD：BD=2：1，
由题意可得出：ED∥BO，
∴△CED∽△COB，
∴
CD
BC
=
ED
BO
，
∴
2
3
=
ED
6
，
解得：DE=4，
同理可得出：
DF
CO
=
BD
BC
=
1
3
，
∴DF=
4
3
，
∴D点坐标为：（4，
4
3
）
设经过点D的反比例函数的解析式为：y=
k
x
，
∵k=4×
4
3
=
16
3
，
∴反比例函数的解析式为：y=
16
3x
；

（3）做C点关于直线x=
5
2
的对称点C′，做M点关于x轴的对称点M′，连接C′M′．
则E、F分别为直线C′M′与x轴和抛物线对称轴的交点，此时C'M'即为点P运动的最短路径长，
则有C′（5，4），M′（0，-2）；
故点P运动的最短路径长=C'M'=
C′C2+M′C2
=
61
．
点评：此题主要考查了反比例函数解析式求法以及待定系数法求二次函数解析式以及利用对称求最小值问题以及相似三角形的判定与性质等知识，利用相似得出D点坐标是解题关键．
练习册系列答案
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计算：
34
×
8
÷
62
．
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1
2
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（2）求S与m之间的函数关系式．
（3）当S=4时，求m的值．
已知点A（1，-3）、B（5，-3），则AB=
 
．
在实数：-
3
，3.1416，
9
，
3
4
，4.151551555…（两个1间依次多一个5）中无理数的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
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