题目内容
（2007•肇庆）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2a，CD=a，BC=2，四边形BEFG是矩形，点E、F分别在腰BC、AD上，点G在AB上．设FG=x，矩形BEFG的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，求x的值；
（3）当∠DAB=30°时，矩形BEFG是否能成为正方形？若能，求其边长；若不能，请说明理由．
【答案】分析：（1）过点D作DH⊥AB于H．由于△AGF∽△AHD，得到AG的值，有BG=AB-AG，再利用y=S矩形=FG•BG而得到y关于x的函数关系式．
（2）求得梯形的面积，由矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半建立方程，求得x的值．
（3）由正切的概念可得到CD=2
，从而得到EF＞2＞FG，故矩形BEFG不能成为正方形．
解答：
解：（1）过点D作DH⊥AB于H，
∵在矩形BEFG中，FG⊥AB，所以FG∥DH，
∴△AGF∽△AHD，
∴
，
即
，得
，
∴
．
因此
，
∵y=FG•BG=x×
=-
ax2+2ax，
即所求的函数关系式为y=-
ax2+2ax （0＜x＜2）．
（2）依题意，得-
ax2+2ax=
×
（a+2a）×2，
因为a≠0，解以上方程得，x1=1，x2=3．
因为0＜x≤2，所以x=3舍去，取x=1．
故当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，x的值为1．
（3）矩形BEFG不能成为正方形．
在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，∴
，即
EF≥CD=a=2
，即EF＞2．
又∵0＜x≤2，即0＜FG≤2，∴EF＞FG，
因此矩形BEFG不能成为正方形．
点评：本题利用了梯形和矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念求解，还应用了一元二次方程的解法．
（2）求得梯形的面积，由矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半建立方程，求得x的值．
（3）由正切的概念可得到CD=2
，从而得到EF＞2＞FG，故矩形BEFG不能成为正方形．解答：
解：（1）过点D作DH⊥AB于H，∵在矩形BEFG中，FG⊥AB，所以FG∥DH，
∴△AGF∽△AHD，
∴
，即
，得，∴
．因此
，∵y=FG•BG=x×
=-ax2+2ax，即所求的函数关系式为y=-
ax2+2ax （0＜x＜2）．（2）依题意，得-
ax2+2ax=×（a+2a）×2，因为a≠0，解以上方程得，x1=1，x2=3．
因为0＜x≤2，所以x=3舍去，取x=1．
故当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时，x的值为1．
（3）矩形BEFG不能成为正方形．
在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，∴
，即EF≥CD=a=2
，即EF＞2．又∵0＜x≤2，即0＜FG≤2，∴EF＞FG，
因此矩形BEFG不能成为正方形．
点评：本题利用了梯形和矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念求解，还应用了一元二次方程的解法．
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