Question

如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．
（1）B处距离灯塔P有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先作PC⊥AB于C，利用∠CPA=90°-45°=45°，进而利用锐角三角函数关系得出PC的长，即可得出答案；
（2）首先求出OB的长，进而得出OB＞50，即可得出答案．

解答：解：（1）作PC⊥AB于C．（如图）
在Rt△PAC中，∠PCA=90°，∠CPA=90°-45°=45°．
∴PC=PA•cos45°=100×

2

2

=50

2

．
在Rt△PCB中，∠PCB=90°，∠PBC=30°．
∴PB=2PC=100

2

．
答：B处距离灯塔P有100

2

海里．

（2）若海轮到达B处没有触礁的危险．
理由如下：
∵OB=OP-PB=200-100

2

，
而100

2

＜150，
∴200-100

2

＞200-150．
∴OB＞50．
∴B处在圆形暗礁区域外，没有触礁的危险．

点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，利用数形结合以及锐角三角函数关系得出线段PC的长是解题关键．