Question

1．如图：已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-5），
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使PB+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），代入C（0，-5）求得a的值即可；
（2）先求得对称轴为直线x=1，然后利用待定系数法确定直线BC的关系式为y=$\frac{5}{3}$x-5，由于使得PB+PC的值最小的点P为直线BC与对称轴的交点，把x=1代入为y=$\frac{5}{3}$x-5即可确定P点坐标．

解答 解：（1）根据题意设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），
代入C（0，-5）得，-5=-3a，
解得a=$\frac{5}{3}$．
故二次函数的解析式为y=$\frac{5}{3}$（x+1）（x-3）=$\frac{5}{3}$x²-$\frac{10}{3}$x-5；
（2）作抛物线的对称轴l，交BC于P，
∵抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴P点的横坐标为1，．
设直线BC的函数表达式为y=kx+t（k≠0）．
∵由B（3，0），C（0，-5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+t=0}\\{t=-5}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{t=-5}\end{array}\right.$．
∴直线BC的函数表达式为y=$\frac{5}{3}$x-5．
将x=1代入得y=-$\frac{10}{3}$．
∴P点的坐标为（1，-$\frac{10}{3}$）．

点评 本题综合考查了待定系数法求函数解析式、轴对称-最短路线问题，（2）题的关键点是确定点P的位置．