Question

11．如图，已知点P（m，5）在直线y=kx（k＞0）上，线段OP的垂直平分线交y轴于点A，交x轴于点B，连接AP，BP，得“筝形”四边形PAOB．
（1）当m=2时，求tan∠POA的值；
（2）若直线x=5交x轴于点C，交线段AB于点D（异于端点），记“筝形”四边形PAOB的面积为s，△DCB的面积为t，试比较s与2t+$\frac{75}{4}$的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE⊥OA，求出点P坐标，从而得到PE=2，OE=5即可；
（2）先确定出直线OP解析式，从而求出直线AB解析式，即求出四边形PAOB的面积，令x=5，求出三角形BCD的面积，再用作差法求出函数关系式，即可．

解答 解：（1）如图，

∵PE⊥OA，
∵m=2，
∴P（2，5），
∴PE=2，OE=5，
在Rt△OPE中，tan∠POA=$\frac{PE}{OE}$=$\frac{2}{5}$．
（2）S＞2t+$\frac{75}{4}$
  理由：∵P（m，5）在直线y=kx上，
∴5=mk，F（$\frac{m}{2}$，$\frac{5}{2}$）
∴k=$\frac{5}{m}$，
∵线段OP的垂直平分线交y轴于点A，交x轴于点B，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{m}{5}$x+$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$，
∴A（0，$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$），B（$\frac{25}{2m}+\frac{m}{2}$，0），
∴OA=$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$，OB=$\frac{25}{2m}+\frac{m}{2}$，
∴S=2×$\frac{1}{2}$×（$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$）（$\frac{25}{2m}+\frac{m}{2}$）=（$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$）（$\frac{25}{2m}+\frac{m}{2}$）
∵直线x=5交x轴于点C，
∴令x=5，则有y=-$\frac{m}{5}$×5+$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$=-m+$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$，
∴CD=-m+$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$，BC=$\frac{25}{2m}+\frac{m}{2}$-5，
∴2t+$\frac{75}{4}$=2×$\frac{1}{2}$（$\frac{25}{2m}+\frac{m}{2}$-5）（-m+$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$）+$\frac{75}{4}$=（$\frac{25}{2m}+\frac{m}{2}$-5）（-m+$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$）+$\frac{75}{4}$=（$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$）（$\frac{25}{2m}+\frac{m}{2}$）-[（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{75}{4}$]，
∴S-（2t+$\frac{75}{4}$）=（$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$）（$\frac{25}{2m}+\frac{m}{2}$）-{（$\frac{5}{2}+\frac{{m}^{2}}{10}$）（$\frac{25}{2m}+\frac{m}{2}$）-[（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{75}{4}$]}=（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{75}{4}$＞0，
∴S＞2t+$\frac{75}{4}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标的特点，线段的长，用m表示出筝形的面积，和三角形的面积，解本题的关键是用m表示出OA，OB，CD，BC．