Question

如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

图1

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

图2

Answer 1

(1)设正比例函数解析式为y＝kx，将点M(－2，－1)坐标代入得，所以正比例函数解析式为，同样可得，反比例函数解析式为；

(2)当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，于是S_△OBQ＝

｜OB·BQ｜＝·m·m＝m²而S_OAP＝｜(－1)(－2)｜＝1，所以有，，

解得m＝±2所以点Q的坐标为Q₁(2，1)和Q₂(－2，－1)；

(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P(－1，－2)是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．

因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标Q(n，)，

由勾股定理可得OQ²＝n²＋＝(n－)²＋4，

所以当(n－)²＝0即n－＝0时，OQ²有最小值4，

又因为OQ为正值，所以OQ与OQ₂同时取得最小值，

所以OQ有最小值2．由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP＋OQ)＝2(＋2)＝2＋4．