Question

如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒(t≥0)．

(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

(2)在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当边恰好经过点时，(如图①) 　　． 　　在Rt中，， 　　， 　　． 　　． 　　即． 　　当边恰好经过点时，． 　　(2)当时，． 　　当时，． 　　当时，． 　　当时，． 　　(3)存在．理由如下： 　　在Rt中，， 　　又， 　　． 　　(ⅰ)当时(如图②)，过点作于． 　　则． 　　在Rt中，， 　　即， 　　．即． 　　． 　　(ⅱ)当时，(如图③)， 　　则， 　　又， 　　． 　　又． 　　．即或． 　　． 　　(ⅲ)当时(如图④)， 　　则． 　　． 　　点和重合． 　　．即． 　　． 　　综上所述，存在5个这样的值，使是等腰三角形，即．