Question

在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=m，∠D=60°，以AB为直径作⊙O．
（1）求圆心O到CD的距离（用含m的代数式来表示）；
（2）当m取何值时，CD与⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）本题要通过构建直角三角形来求解．分别过A，O两点作AE⊥CD，OF⊥CD，垂足分别为点E，点F，则AE=OF．
在直角△ADE中，求AE．
（2）CD与⊙O相切，则OF就是圆的半径．列方程求解．

解答：解：
（1）分别过A，O两点作AE⊥CD，OF⊥CD，垂足分别为点E，点F，
∴AE∥OF，OF就是圆心O到CD的距离．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴AE=OF．
∵在Rt△ADE中，∠D=60°，sin∠D=

AE

AD

，
∴sin60°=

AE

AD

．
∴

3

2

=

AE

m

．
∴AE=

3

2

m．
∴OF=AE=

3

2

m．
∴圆心到CD的距离OF为

3

2

m．

（2）∵OF=

3

2

m，AB为⊙O的直径，且AB=10，
∴当OF=5时，CD与⊙O相切于F点，
即

3

2

m=5，m=

10 3

3

，
∴当m=

10 3

3

时，CD与⊙O相切．

点评：本题综合考查了平行四边形的性质，切线的判定等知识点，难度中等．