Question

【题目】（1）操作发现：

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D在线段BC上（不与点B重合），连接AD，将线段AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接EC，如图①所示，请直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系．

（2）猜想论证：

在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，请你在图②中画出图形并判断（1）中的结论是否成立，并证明你的判断．

（3）拓展延伸：

如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于　 　度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3时，请直接写出线段CF的长的最大值是　　．

Answer 1

【答案】（1）CE=BD，CE⊥BD，理由详见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，理由详见解析；（3）当锐角∠ACB=45°时，CE⊥BD．理由详见解析；②45， .

【解析】

（1）只要证明△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．
（2）结论不变．证明的方法与（1）一样．
（3）①当锐角∠ACB=45°时，CE⊥BD．过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，根据旋转的性质得到∠DAE=90°，AD=AE，利用等角的余角相等得到∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，则NE=MA，由于∠ACB=45°，则AM=MC，所以MC=NE，易得四边形MCEN为矩形，得到∠DCF=90°，
②由Rt△AMD∽Rt△DCF，得由此构建二次函数，再利用二次函数即可求得CF的最大值．

（1）CE=BD，CE⊥BD；

理由：如图①中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；

（2）结论：（1）中的结论仍然成立．理由如下：

如图②中，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，

所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；

（3）①结论：当锐角∠ACB=45°时，CE⊥BD．理由如下：

如图③中，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴∠DAE=90°，AD=AE，

∴∠NAE=∠ADM，

易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，

∴NE=AM，

∵∠ACB=45°，

∴△AMC为等腰直角三角形，

∴AM=MC，

∴MC=NE，

∵AM⊥BC，EN⊥AM，

∴NE∥MC，

∴四边形MCEN为平行四边形，

∵∠AMC=90°，

∴四边形MCEN为矩形，

∴∠DCF=90°，

∴EC⊥BD．

②∵Rt△AMD∽Rt△DCF，

∴

设DC=x，

∵∠ACB=45°，AC=

∴AM=CM=3，MD=3﹣x，

∴

∴

∵

∴当x=1.5时，CF有最大值，最大值为

故答案为：45，；