Question

【题目】若关于 x 的一元二次方程axbxc=0（a0，c0，a、b、c为常数）有两个不相等的实数根，（0），O为坐标原点，A、B为x轴正半轴上的两点且A，0，B，0.

（1）当=c=2,b=-时，求与a的值;

（2）当 x 1，c 6a 时，P为一次函数 y x4图象上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，若点 A、B、P、Q 为一个矩形的四个顶点，请确定点Q的坐标；

（3）当=2c时，试问在正比例函数y=的图象上是否存在点M使得△ABM为等边三角形？判断并证明你的结论。

Answer 1

【答案】（1）=3，a=；（2）点Q的坐标为：（6，3）或（1，-2）；（3）不存在点M使得△ABM为等边三角形，证明见解析.

【解析】

（1）把=c=2，b=代入可求出a的值，从而得到该方程，利用根与系数的关系可求出另一根；

（2）把x1，c6a代入可求出b=-7a，从而将方程变形为a(x-1)(x-6)=0，得到A，B坐标，然后根据一次函数图像上点的坐标特征和矩形的性质可分情况求出点Q的坐标；

（3）将=2c代入axbx c=0利用根与系数的关系求出，得到A，B坐标，过点M作MC⊥x轴于点C，由C是AB中点，可求出C的坐标，进而代入正比例函数解析式得到M点坐标，然后根据CM=AC列出方程求出b值，推出矛盾，问题得解.

解：（1）把=c=2，b=代入ax bx c=0得：4a+2×()+2=0，

解得：a=，

所以该方程为：xx 2=0，

∵=，即2+=5，

∴=3；

（2）把x1，c6a代入axbx c=0得ab6a=0，

∴b=-7a；

∴ax-7ax 6a=0，即a(xx 6)=0，

∴a(x-1)(x-6)=0（a0），

∴，，

∴A(1，0)，B(6，0)，

①如图1，过点A作AP⊥x轴交直线yx4于点P，

∴P（1，3），

∵四边形APQB为矩形，

∴Q（6，3）；

②如图2，过点B作BP⊥x轴交直线yx4于点P，

∴P（6，-2），

∵四边形ABPQ为矩形，

∴Q（1，-2）；

综上所述，点Q的坐标为：（6，3）或（1，-2）；

（3）不存在点M使得△ABM为等边三角形；

证明：将=2c代入axbx c=0得：4ac2+2bc+c=0，即c(4ac+2b+1)=0，

∵c0，

∴4ac+2b+1=0①，

∵，

∴，

∴A(2c，0)，B(，0)，

假设存在点M使得△ABM为等边三角形，

如图3，过点M作MC⊥x轴于点C，则C是AB中点，

∴C点横坐标为：，

将代入可得，

由①可知4ac=-(2b+1)，4ac+1=-2b，

∴，

∴M（，），

当△ABM为等边三角形时，CM=AC，

AC，

∴

∴，

解得：b=-1（舍）或b=，

∵b=，，

∴a＜0，与题设中a0矛盾，

∴不存在点M使得△ABM为等边三角形.