问题:如图(1).在Rt△ACB中.∠ACB=90°.AC=CB.∠DCE=45°.试探究AD.DE.EB满足的等量关系．[探究发现]小聪同学利用图形变换.将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH.连接EH.由已知条件易得∠EBH=90°.∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边 .可证△CEH≌△CDE.得EH=ED．在Rt� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．
[探究发现]
小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．
根据“边角边”，可证△CEH≌△CDE，得EH=ED．
在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH²+EB²=EH²，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是AD²+EB²=DE²．
[实践运用]
（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；
（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．

分析（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，设AG=x，则CE=x-2，CF=x-3．因为CE²+CF²=EF²，所以（x-2）²+（x-3）²=5²．解这个方程，求出x的值即可得到AG=6，在（2）中，MN²=MB²+ND²，MN=a，${a}^{2}=（3/2\sqrt{2}）^{2}+（6\sqrt{2}-3/2\sqrt{2}-a）^{2}$，所以a=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．即MN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

解答解：根据“边角边”，可证△CEH≌△CDE，得EH=ED．
在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH²+EB²=EH²，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是AD²+EB²=DE²；故答案为：△CDE；勾股；AD²+EB²=DE²；
（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=2，DF=FG=3，则EF=5，
设AG=x，则CE=x-2，CF=x-3，
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²，
解这个方程，得x₁=6，x₂=-1（舍去），
∴AG=6，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{2A{G}^{2}}=6\sqrt{2}$，
∴AB=6，
∵MN²=MB²+ND²
设MN=a，则${a}^{2}=（3/2\sqrt{2}）^{2}+（6\sqrt{2}-3/2\sqrt{2}-a）^{2}$，
所以a=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
即MN=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．