Question

如下图，在直角坐标系中，已知点M₀的坐标为(1，0)，将线段OM₀绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁，使得M₁M₀⊥OM₀，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到线段OM₂，如此下去，得到线段OM₃，OM₄，……，OM_n．

(1)写出点M₅的坐标；

(2)求△M₅OM₆的周长；

(3)我们规定：把点M_n(x_n，y_n)(n＝0，1，2，3……的横坐标x_n，纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标(|x_n|，|y_n|)称之为点M_n的“绝对坐标”．根据图中点M_n的分布规律，请你猜想点M_n的“绝对坐标”，并写出来．

Answer 1

答案：
解析：

(1)M5(―4，―4)　　4分 　　(2)由规律可知，，，　　6分 　　∴的周长是　　8分 　　(3)解法一：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况： 　　令旋转次数为 　　当点M在x轴上时：M0()，M4()，M8()，M12()， 　　即：点的“绝对坐标”为()．　　9分 　　当点M在y轴上时：M2，M6，M10，M14，即：点的“绝对坐标”为．　　10分 　　当点M在各象限的分角线上时：M1，M3， 　　M5，M7，即：的“绝对坐标”为．12分 　　解法二：由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况： 　　①当时(其中＝0，1，2，3，…)，点在轴上，则()　　9分 　　②当时(其中＝1，2，3，…)，点在轴上，点()　　10分 　　＝1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点()　　12分