Question

某种产品的年产量不超过1 000t，该产品的年产量与费用之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图甲）；该产品的年销量与销售单价之间的函数图象是线段（如图乙），若生产的产品都能在当年销售完，问该产品年产量为多少吨时，所获得的毛利润最大？（毛利润=销售额-费用）

Answer 1

分析：本题通过图象反映了二次函数，一次函数的有关数量，就可以简便地求出两个函数关系式，要找准毛利润的等量关系：毛利润=销售单价×年产量-费用．

解答：解：设年产量（t）与费用（万元）之间函数解析式，y₁=ax²，
由图甲得，将点（1000，1000）代入得：1000=1000²a，
解得：a=

1

1000

，
即y₁=

1

1000

x²，
设年销量（t）与销售单价（万元/t）之间的函数解析式为y₂=kx+b，
代入（0，30）、（1000，20）得：

30=b 20=1000k+b

，
解得：

k=- 1 100 b=30

，
即：y₂=-

1

100

x+30，
设毛利润为y万元，
由题意得：y=（-

1

100

x+30）x-

1

1000

x²，（其中0≤x≤1000）
y=-

11

1000

x²+30x=-

11

1000

（x²+

30000

11

x）=-

11

1000

（x-

15000

11

）²+

225000

11

，
当x=

15000

11

时，取最大值，
∵x=

15000

11

＞1000，
∴当0≤x≤1000时，y随x的增大而增大，
故当x=1000时图象达到最高点，故当年产量为1000吨时，所获得的毛利润最大．

点评：本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据图象列出函数式，并学会利用配方法求极值，注意变量x的取值范围．