题目内容

如图，在平面直角坐标系中，?ABCO的顶点O在原点，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，2），点C在第一象限．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）将?ABCO绕点O逆时针旋转，使OC落在y轴的正半轴上，如图②，得□DEFG（点D与点O重合）．FG与边AB、x轴分别交于点Q、点P．设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为S₀，求S₀的值；
（3）若将（2）中得到的?DEFG沿x轴正方向平移，在移动的过程中，设动点D的坐标为（t，0），?DEFG与?ABCO重叠部分的面积为S．写出S与t（0＜t≤2）的函数关系式．（直接写出结果）

解：（1）C（2，2）；

（2）∵A（-2，0），B（0，2）
∴OA=OB=2
∴∠BAO=∠ABO=45°
∵?EFGD由?ABCO旋转而成
∴DG=OA=2，∠G=∠BAO=45°
∵?EFGD
∴FG∥DE
∴∠FPA=∠EDA=90°
在Rt△POG中，OP=OG•sin45°= $\text{[math]}$
∵∠AQP=90°-∠BAO=45°
∴PQ=AP=OA-OP=2- $\text{[math]}$
S₀= $\text{[math]}$ （PQ+OB）•OP= $\text{[math]}$ （2- $\text{[math]}$ +2）• $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ -1．

（3）

当?DEFG运动到点F在AB上时，如图①，t=2 $\text{[math]}$ -2
①当0＜t≤2 $\text{[math]}$ -2时，如图②，S=-t²+ $\text{[math]}$ t+2 $\text{[math]}$ -1；
②当2 $\text{[math]}$ -2＜t≤ $\text{[math]}$ 时，如图③，S=- $\text{[math]}$ t²+4 $\text{[math]}$ -3；
③当 $\text{[math]}$ ＜t≤2时，如图④，S=- $\text{[math]}$ t+4 $\text{[math]}$ -2．
分析：（1）由于四边形BCOA是平行四边形，将B点坐标向右平移2个单位即可得出C点坐标．
（2）重合部分是个直角梯形，关键是求出PQ和OP的值，根据OA，OB的长可得出∠BAO=∠G=45°，根据旋转的性质可知：OG=OA，因此可在等腰直角三角形OPG中求出OP的长，进而可求出AP、PQ的长，然后根据梯形的面积公式即可求出S₀的值．
（3）本题要找出几个关键点．
当F在直线AB上时，（2）中求得OP= $\text{[math]}$ ，那么FP=FG-PG= $\text{[math]}$ ，因此当F在AB上时，AP=PF= $\text{[math]}$ ，OD= $\text{[math]}$ -（2- $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ -2．
当F在y轴上时，OD= $\text{[math]}$ ．
因此本题可分三种情况：
①当FE在AB左侧时，即当0＜t≤2 $\text{[math]}$ -2时，如果延长FB交EN于S，那么重合部分是两个直角梯形．
②当FE在AB右侧，但在y轴左侧时，重合部分是个多边形，设EF与y轴的交点为S，可分成y轴左侧的直角梯形POSF和右侧的平行四边形ONES-三角形EKM的面积来求．
③当FE在y轴右侧时，如果设ED与OC的交点为R的话，可用平行四边形HREF的面积-三角形EKM的面积来求得．
点评：本题主要考查了图形的旋转变换、图形面积的求法、二次函数的应用等知识点．难度较大．