Question

己知直角梯形ABCD中，AD∥BC．∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点．连接BF、DF交于点P．连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，求证：
（1）CP平分∠BCD；
（2）四边形ABED为平行四边形；
（3）△ABF为等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先得出△BCF≌△DCE（SAS），进而得出△BPE≌△DPF，即可得出BP=DP，得出△BPC≌△DPC即可解决问题；
（2）利用平行四边形的判定中一组对边平行且相等得出即可；
（3）利用平行四边形的性质得出AB=DE，即可得出AB=BF，进而得出△ABF为等腰三角形．
解答：证明：（1）∵E、F分别是BC、CD边的中点，
∴EC=FC，
∴在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，∠BPE=∠DPF，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，PC=PC，BC=CB，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠BCP=∠DCP；

（2）∵BC=CD=2AD，E是BC边的中点，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，

（3）∵四边形ABED为平行四边形，
∴AB=DE，
∵BF=ED，
∴AB=BF，
∴△ABF为等腰三角形．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△BPC≌△DPC是解题关键．