Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0），交y轴于点B（0，）．直线过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．

(1) 求抛物线与直线的解析式；

(2)点P是抛物线上A、D间的一个动点，过P点作PM∥CE交线段AD于M点.

①过D点作DE⊥y轴于点E，问是否存在P点使得四边形PMEC为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由;

②作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m关于x的函数关系式，并求出m的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）① 存在，点P的坐标是（2，-3）和（4，）；② ， m的最大值是15．

【解析】

（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后可求得抛物线的解析式，将点A的坐标代入直线的解析式可求得k的值，从而可求得直线的解析式；

（2）①将与联立，可求得点，然后再求得点则，设点的坐标为，则的坐标是．然后可得到的长与的函数关系式，然后依据，可求得的值，从而可得到点的坐标；

②在中，依据勾股定理可知：，则的周长是24，接下来，证明，依据相似三角形的周长比等于相似比可得到与x的函数关系式，最后利用配方法可求得的最大值．

解：（1）经过点和点，

，

解得，

抛物线的解析式为，

直线经过点，

，解得：．

直线的解析式为；

（2）①将与联立，解得或，

将代入得：，

，

将代入得：，

，

，

设点的坐标为，则的坐标是，

点在直线的下方，

，

四边形为平行四边形，

，

，解得或，

当时，，当时，，

当点的坐标为或时，四边形为平行四边形；

②在中，，，

依据勾股定理可知：，

的周长是24，

轴，

，

又，

，

，即，

化简整理得：，

配方得：，

当时，有最大值，的最大是15．