Question

如图，已知AC⊥CM，点B是射线CM上一点（点B不与点C重合），AC=4，∠CAB的平分线AD与射线CM交于点D，过点D作DN⊥AB，垂足为N．
（1）如果AB=5，求BD的长；
（2）设AB=x，BD=y，求出y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当AB取何值时，四边形ACDN的面积是△BDN面积的3倍？

Answer 1

解：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，
∴．
∵AD是∠CAB的平分线，且DC⊥AC，DN⊥AB，
∴DN=DC．
在Rt△DNB和Rt△ACB中，∠DBN=∠ABC，
∴△DNB∽△ACB．
∴，
∴，
∴．

（2）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，AB=x，
∴．
∵△DNB∽△ACB，
∴，
∴．
∴．
（x＞4）．

（3）∵S_{四边形ACDN}=3S_△BDN，
∴S_△ABC=4S_△BDN．
又∵△ACB∽△DNB，
∴，
∴AB=2BD．
设AB=x，则，
解方程得：．
经检验都是原方程的根，但x₂=-4不合题意，舍去．
∴，即时，四边形ACDN的面积是△BDN面积的3倍．
分析：（1）根据勾股定理可求BC；根据角平分线性质得CD=DN；根据△BDN∽△BAC得比例式求解；
（2）思路同上．
（3）四边形ACDN的面积是△BDN面积的3倍，则S_△BDN=S_△ABC，即两个三角形的相似比为1：2，亦即当AB=2BD时，四边形ACDN的面积是△BDN面积的3倍．
点评：此题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、解方程等知识点，综合性强，难度大．