Question

点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，BD是⊙O的切线,且AB＝AD．

（1）求证：点A是DO的中点．
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA＝，求△ACF的面积．

Answer 1

（1）见解析（2）18解析:
（1）连接OB，∵ BD是⊙O的切线，
∴∠OBD=90°，
∵AB=AD， 
∴∠D=∠ABD，
∴∠AOB=∠ABO，
∴AB=AO，
∵AB=AD.
∴AO=AD…………………5分

（2）∵AC是直径，∴∠ABF=90°，
∴cos∠BFA＝，…………………7分
∵∠E=∠C， ∠FAC=∠FBE，
∴△FAC∽△FBE，…………………9分
∴
∵
∴△FAC的面积为18. …………………11分
（1）连接OB，求得∠AOB=∠ABO，从而求得AO=AD
（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解