Question

点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，BD是⊙O的切线，且AB=AD．
（1）求证：点A是DO的中点．
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=

2

3

，求△ACF的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OB，利用切线的性质和已知条件证明AO=AD即可；
（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．

解答：证明：（1）连接OB，∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD=90°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∴∠AOB=∠ABO，
∴AB=AO，
∴AO=AD，
∴点A是DO的中点；
（2）∵AC是直径，
∴∠ABF=90°，
cos∠BFA=

FB

FA

=

2

3

，
∵∠E=∠C，∠FAC=∠FBE，
∴△FAC∽△FBE，
∴

S△BEF

SACF

=

4

9

，
∵△BEF的面积为8，
∴△FAC的面积为18．

点评：本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度中等．