如图.在梯形ABCD中.AD∥BC.AD=2.BC=4.点M是AD的中点.△MBC是等边三角形．(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形,(2)动点P.Q分别在线段BC和MC上运动.且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x.MQ=y.求y与x的函数关系式,中:①当动点P.Q运动到何处时.以点P.M和点A.B.C.D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：
①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；
②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

【答案】分析：（1）需证△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）可证△BPM∽△CQP，

，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，

，即可得出y=

-x+4；
（3）应考虑四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形，四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形时的情况；由（2）中的函数关系，可得当y取最小值时，x=PC=2，P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∠CPQ=30°，∠PQC=90°．
解答：（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．（1分）
∵M是AD中点，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．（2分）
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）解：在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．（4分）
∴△BPM∽△CQP．
∴