Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）.

（1）求该抛物线的解析式；
（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；
（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM²＋PB²＋PC²＝35，求点P的坐标.

Answer 1

（1）；（2）；（3）P（2，－2）或（2，）

解析试题分析：（1）根据抛物线顶点为M（2，－1），可设抛物线的解析式为线，再把点B（3，0）代入即可求得结果；
（2）先求得抛物线与y轴的交点坐标，可得∠ABC=45°，过点B作BN⊥x轴交CD于点N，根据轴对称的性质可得∠ACB=∠NCB，再结合公共边CB可得△ACB≌△NCB，即可得到BN=BA，根据抛物线的对称性求得点A的坐标，即可得到点N的坐标，再根据待定系数法即可求得结果；
（3）设P（2，p），先根据勾股定理表示出PM、PB、PC，再根据PM²＋PB²＋PC²＝35即可得到关于p的方程，解出即可.
（1）∵抛物线y＝ax²＋bx＋3的顶点为M（2，－1），
∴设抛物线的解析式为线
∵点B（3，0）在抛物线上，∴，解得
∴该抛物线的解析式为，即；
（2）在中，令x=0，得
∴C（0，3）
∴OB=OC=3 
∴∠ABC=45
过点B作BN⊥x轴交CD于点N，

则∠ABC=∠NBC=45°
∵直线CD和直线CA关于直线BC对称，
∴∠ACB=∠NCB
又∵CB=CB，
∴△ACB≌△NCB
∴BN=BA
∵A，B关于抛物线的对称轴x=2对称，B（3，0），
∴A（1，0）
∴BN=BA=2 
∴N（3，2）
设直线CD的解析式为，
∵C（0，3），N（3，2）在直线CD上，
∴，解得
∴直线CD的解析式为；
（3）设P（2，p）
∵M（2，－1），B（3，0），C（0，3）
∴


∵PM²＋PB²＋PC²＝35
∴
整理得
解得
∴P（2，－2）或（2，）.
考点：二次函数的综合题
点评：解答本题的关键是注意当抛物线中出现了顶点坐标时，抛物线的解析式一般设为顶点式.