Question

【题目】如图，，是上的一点，，点为上的一动点，点为上的一动点，则的最小值为 ________，当的值取最小值时，则的面积为________.

Answer 1

【答案】2

【解析】

作D点关于AO的对称点D’，当C,P,D’在同一直线上时，取最小值，则CD’=，故当CD’⊥OD’时，CD’最小，根据得到∠BOD’=60°，根据OC=4，利用三角函数即可求出此时的CD’；作PH⊥BO，根据角平分线的性质得到DP’=PH，根据Rt△OPD’求出D’P，再根据三角形的面积公式即可求出的面积.

作D点关于AO的对称点D’，当C,P,D’在同一直线上时，取最小值，

故当CD’⊥OD’时，CD’最小，

如图，∵

∴∠BOD’=60°，

∵OC=4，

∴CD’=OCsin60°=4×=2，

故的最小值为2；

过PH⊥OC，

∵OP平分∠COD’

∴PH=D’P

∵OD’=OCcos60°=4×=2，

∴DP’=OD’tan30°=2×=

故PH=

∴此时S△OPC=OC×PH=×4×=

故答案为：2；.