题目内容

为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边
BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=24 $数学公式$ 米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的 $数学公式$ ？

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=24 $\text{[math]}$ 米，∠BAC=60°，
∴AC= $\text{[math]}$ AB=12 $\text{[math]}$ 米，BC= $\text{[math]}$ AC=36米，∠ABC=30°，
∴AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x，BE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x，
∵AD+DE+BE=AB，
∴ $\text{[math]}$ x+y+ $\text{[math]}$ x=24 $\text{[math]}$ ，
∴y=24 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ x=24 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x，
即y与x之间的函数解析式为y=24 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x（0＜x＜18）；

（2）∵y=24 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x，

∴矩形DEFG的面积=xy=x（24 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x）=- $\text{[math]}$ x²+24 $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ （x-9）²+108 $\text{[math]}$ ，
∴当x=9米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是108 $\text{[math]}$ 平方米；

（3）记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S₁、S₂、S₃，两弯新月面积为S，
则S₁= $\text{[math]}$ πAC²，S₂= $\text{[math]}$ πBC²，S₃= $\text{[math]}$ πAB²，
∵AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃，
∴S₁+S₂-S=S₃-S_△ABC，
∴S=S_△ABC，
∴两弯新月的面积S= $\text{[math]}$ AC•BC= $\text{[math]}$ ×12 $\text{[math]}$ ×36=216 $\text{[math]}$ （平方米）．
如果矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的 $\text{[math]}$ ，
那么- $\text{[math]}$ （x-9）²+108 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×216 $\text{[math]}$ ，
化简整理，得（x-9）²=27，
解得x=9±3 $\text{[math]}$ ，符合题意．
所以当x为（9±3 $\text{[math]}$ ）米时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先解Rt△ABC，得出AC=12 $\text{[math]}$ 米，BC=36米，∠ABC=30°，再根据三角函数的定义求出AD= $\text{[math]}$ x，BE= $\text{[math]}$ x，然后根据AD+DE+BE=AB，列出y与x之间的关系式，进而求解即可；
（2）先根据矩形的面积公式得出DEFG的面积=xy，再将（1）中求出的y=24 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ x代入，得出矩形DEFG的面积=xy=- $\text{[math]}$ x²+24 $\text{[math]}$ x，然后利用配方法写成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）先证明两弯新月的面积=△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求出两弯新月的面积，然后根据矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的 $\text{[math]}$ 列出关于x的一元二次方程，解方程即可求解．
点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，其中涉及到矩形的性质，解直角三角形，三角函数，勾股定理，二次函数的性质，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．利用数形结合及方程思想是解题的关键．

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BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=24

米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的

？

为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场.在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖.其中米，∠BAC=60⁰.设EF=x米，DE=y米.

（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的？

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BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=24

？

（1）求y与x之间的函数解析式；

（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？

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