Question

（2012•北辰区一模）如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若△BCF的面积为18

3

cm²，则六边形ABCDEF的面积为

54

3

cm²．

Answer 1

分析：由正六边形的性质可知∠B=90°，∠BFC=30°，利用已知数据和三角形的面积公式，可求出正六边形的边长，作OH⊥CD，利用三角形的面积公式即可求出△COD的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积．

解答：解：连接OD，作OH⊥CD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=60°，
∴△COD是等边三角形，
由正六边形的性质可知∠B=90°，∠BFC=30°，设BC=x，
∴CF=2x，
∴BF=

FC2 -BC 2

=

3

x，
∵△BCF的面积为18

3

cm²，
∴

BC•BF

2

=18

3

，
即

x• 3 x

2

=18

3

，
∴x=6，
∴正六边形的边长为6，
∴OH=

CO2-CH2

=3

3

，
∴S_△COD=

1

2

•CD•OH=

6×3 3

2

=9

3

，
∴正六边形ABCDEF的面积为6×9

3

=54

3

cm²，
故答案为：54

3

．

点评：本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形利用正六边形可分成6个全等的等边三角形，根据等边三角形的面积公式求解是解答此题的关键．