Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点。

（1）求抛物线的解析式。

（2）求△ABC的面积。若P是抛物线上一点（异于点Ｃ），且满足△ABP的面积等于△ABC的面积，求满足条件的点P的坐标。

（3）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥轴交抛物线于N，若点M的横坐标为，请用含的代数式表示线段MN的长。

（4）在（3）的条件下，连接NB、NC，则是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求的值，并求出△BNC面积的最大值。若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+2x+3 （2）（2,3）（,-3）（,-3） （3）MN=－m2+3m （4）存在

【解析】试题分析：

（1）根据已知条件设抛物线的解析式为顶点式，代入点C的坐标求得的值就可得解析式为；

（2）由已知条件可求得△ABC的面积为6，由点P在抛物线上可设其坐标为，则由题意可得△ABP中，AB边上的高为，由此可求得的值，从而可得点P的坐标；

（3）如图1由已知可求出直线BC的解析式，再由MN∥轴，可用含“”的代数式表达出M、N的纵坐标，用点N的纵坐标减去M的纵坐标可得MN的长；

（4）如图2，连接BN、CN，设△BNC的面积为S，由S=MN（OD+BD）可表达出面积，结合（3）中“”的取值范围可求出S的最大值.

试题解析：

(1)由已知条件可设抛物线解析式为，

∵点C（0,3）在抛物线上.

∴，解得，

∴抛物线解析式为.

（2）∵点A、B、C的坐标分别为：A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3），

∴AB=4，OC=3

∴ S△ABC=，

设点P的坐标为，

∵ S△ABP= S△ABC=6，

∴点P纵坐标的绝对值等于OC的长，即：

当－x2+2x+3.=3时，解得

∴P（0,3）（舍）， P（2,3）

当－x2+2x+3.=-3时，解得

∴P（,-3）， P（,-3）

∴满足条件的点P的坐标为（2,3）（,-3）（,-3）

（3）如图1，设MN交x轴于点D，

∵MN∥y轴，点M横坐标为m,

∴N的横坐标为m, D（m,0)

∵点N在抛物线上

∴点N的坐标为N( m, －m2+2m+3),

设直线BC解析式为y=kx+b,

∴ 解得

∴直线BC的解析式为y= －x+3.

∵点M在直线BC上,

∴点M（m, －m+3)

∴MN=DN－DM=(－m2+2m+3)－(－m+3)=－m2+3m

(4)存在.如2，连接BN、CN

设△BNC的面积为S，则

∵，且，

∴时，△BNC的面积最大，最大面积为.