题目内容
【题目】★如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝
x－2
与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1.
(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；
(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；
(3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
或
【解析】试题分析：（1）由直线y＝
与x轴、y轴分别交于A，B两点，可求得点A与点B的坐标，继而求得∠OBA＝30°，然后过点O作OH⊥AB于点H，利用三角函数可求得OH的长，根据直线与圆的位置关系即可得出答案；
（2）当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，易得⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°－30°－30°＝120°，则可求得弧长；同理可求得当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长；
（3）首先求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，点D的坐标，然后利用对称性可以求得当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，点D的坐标．
试题解析：解：（1）原点O在⊙P外．理由如下：
∵直线y＝
x－2与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，－2)．
在Rt△OAB中，tan∠OBA＝
＝
＝
，
∴∠OBA＝30°．
如图①，过点O作OH⊥AB于点H，
在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝．
∵＞1，
∴原点O在⊙P外；
（2）如图②，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠OBA＝30°，
∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆心角的度数为180°－30°－30°＝120°，
∴弧长为
＝
；
同理：当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为．
∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧的长为
；
（3）如图③，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，作PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴∠APD＝∠ABO＝30°．
在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝，
∴OD＝OA－AD＝2－，
∴此时点D的坐标为
；
当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为
．
综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为或．
