Question

如图，在矩形ABCD中，AD＞AB．
（1）请完成如下操作：①作∠BAC的平分线AE交BC边于点E；②以AC边上一点O为圆心，过A、E两点作圆O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；
②若圆O与AC边的另一个交点为F，AC=3，CE=

3

，求线段CE、CF与劣弧EF所围成的图形面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

分析：（1）首先作∠BAC的平分线AE交BC于点E，然后作AE的垂直平分线交AC于点O，以O为圆心，OA为半径作圆即可；
（2）①证得OE⊥BC后即可判定BC是⊙O的切线；
②连接EF，设圆O的半径为r，则OC=3-r，在Rt△OEC中利用勾股定理求得r=1，从而求得三角形OEC和扇形OEF的面积，最后求得线段CE，CF与劣弧EF所围成的图形的面积即可．

解答：解：（1）①作∠BAC的平分线AE交BC于点E；             
②作AE的垂直平分线交AC于点O，以O为圆心，OA为半径作圆；    

（2）①判断：直线BC与圆O相切．                            
理由：连接OE
∵AE平分角EAB
∴∠EAC=∠EAB
∵OA=OE，所以：∠OEA=∠OAE
∴∠EAB=∠OEA  所以OE∥AB                                
∴∠OEC=∠B
∵∠B=90度，
∴∠OEC=90度，即：OE⊥BC
∵OE是圆O的半径，
∴BC是圆O的切线                   （
②如图，连接EF，设圆O的半径为r，则OC=3-r，
在Rt△OEC中，∠OEC=90°，
∴OC²=OE²+CE²，即（3-r）²=r²+（

3

）²
∴r=1
∴OC=2，∠OCE=30°，∠EOC=60°
∵三角形OEC的面积为

1

2

×

3

×1=

3

2

，扇形OEF的面积为

60

360

×π×12=

1

6

π，
∴线段CE，CF与劣弧EF所围成的图形的面积为

3

2

-

π

6

．

点评：本题考查了圆的综合知识，其中用到了勾股定理、尺规作图等知识，综合性较强，难度较大．