Question

以前我们曾学过这样的算式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…则

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…．
运用这种解题思想计算：

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+…+

1

(x+2006)(x+2007)

．

Answer 1

分析：根据题中已知的一系列等式，发现

1

n(n+1)

可以拆项为

1

n

-

1

n+1

，按照此规律化简所求的式子，抵消后，通分即可求出值．

解答：解：原式=

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+…+

1

x+2006

-

1

x+2007

（4分）
=

1

x-1

-

1

x+2007

（7分）
=

2008

(x-1)(x+2007)

（9分）

点评：此题考查学生通过观察，猜想，归纳总结的能力．本题的解题思想是对所求的式子拆项后，抵消并通分可得结果．