题目内容

在△ABC中，BC=6，AC=4 $数学公式$ ，∠C=45°，在BC上有一动点P．过P作PD∥BA与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）是否存在点P，使△APD的面积最大？若存在，求出BP的长，并求出△APD面积的最大值．

解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，

由Rt△AEC中，AC=4 $\text{[math]}$ ，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°= $\text{[math]}$ ，即AE=ACsin45°=4 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =4，
∴△ABC中BC边上的高为4，
设△CDP中PC边上的高为h，
则 $\text{[math]}$ ；
这样S₁=2x，S₃= $\text{[math]}$ ，
S₂=12-2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
即y=12-2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）S₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．
分析：（1）设△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S₁，S₂，S₃，由已知条件可求出△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，找到h和x的数量关系，则即可求出用x的代数式分别表示S₁，S₂，S₃进而表示出△APD的面积y；
（2）对y=S₂= $\text{[math]}$ 利用配方法即可求出△APD的面积最大值．
点评：本题考查了二次函数的最值及三角形的面积，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数的最值．