题目内容

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点E处，点C落在点D处．P、Q分别为线段AC、AD上的两个动点，且AQ=2PC，连接PQ交线段AE于点M．
（1）设AQ=x，△APQ面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（2）若以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，求AQ的长；
（3）是否存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ的长；若不存在请说明理由．

【答案】分析：（1）设AQ=x，即可利用x表示出AP的长，然后根据△APQ的面积=AQ•AP•sin∠QAP，即可求解；
（2）过点P作PF⊥AB，垂足为F，则PC=PF，直角三角形APF中根据边角关系即可求解；
（3）△AQM、△APQ和△APM这三个三角形有两个三角形相似，即可分成3种情况进行讨论，再根据sin∠QPA=，即可得到关于AQ的方程，从而求解．
解答：解：（1）如图1过点Q作QH⊥AC，垂足为H，（1分）
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，
∴∠DAC=60°，△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=30°，∠EAC=30°，
∴在直角三角形AQH中，
∴QH=．（1分）
∵AQ=2PC，AC=4，
∴PC=AP=，（1分）
∴，
∴y=（4-x）•x=-x2+x（0＜x≤4）；
（2）如图2过点P作PF⊥AB，垂足为F．（1分）
∵以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，
∴PC=P．F（1分）
在直角三角形APF中，，
∴，
∴．（2分）
即：若以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，则AQ的长为；

（3）假设存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似．
①如图3，当△AQM与△APQ相似时，
∵∠AQM=∠PQA，∠QAM≠∠QAP，
∴∠QAM=∠QPA=30°，
∴∠PQA=90°，
∴，
∴；（2分）
②当△APQ与△APM相似时，
∵∠APQ=∠APM，∠QAM≠∠QAP，
∴∠PAM=∠PQA=30°，
∴∠QPA=90°，
∴，
∴x=4；（2分）
③如图4，当△AQM与△APM相似时，
∵∠QAM=∠PAM=30°，∠AQM≠∠AMP，
∴∠AQM=∠APM，
∴AQ=AP，
∴，
∴．（1分）
∴当AQ为或4或时，△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似．
点评：本题主要考查了旋转的性质，以及相似三角形的判定与性质，正确进行讨论，利用sin∠QPA=这一关系是解题的关键．
练习册系列答案
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时，才能使△ABC和△APQ全等．

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