Question

如图，在直角三角形中，一直角边比另一直角边长1，且斜边长为5．
（1）请画出这个直角三角形的内切圆；
（2）并求出此内切圆的半径．

Answer 1

分析：（1）先作出任意两个角的角平分线，再以角平分线交点为圆心，以交点与任意一边的距离为半径画圆即可；
（2）利用勾股定理和三角形的面积公式来确定内切圆的半径．

解答：解：（1）作图：

（2）如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．
在Rt△ABC中，
设AB=x，则BC=x+1．
∵AC=5，
∴x²+（x+1）²=25，
∴x₁=3，x₂=-4．（舍）
∴AB=3，BC=4．
设内切圆半径=R．
∵S_△ABC=

1

2

×3×4=6．
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC
=

1

2

×AB×R+

1

2

×BC×R+

1

2

×AC×R
=

3

2

R+2R+

5

2

R
=6R．
∴6R=6，
∴内切圆的半径为1．

点评：外心是三角形各边垂直平分线的交点，到每个顶点的距离相等．内心是三角形每个角的角平分线的交点，到三边距离相等．