Question

如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．

（1）求证：FB为⊙O的切线；

（2）若AB=8，CE=2，求sin∠F．

Answer 1

（1）证明：连接OB．

∵CD是直径，

∴∠CBD=90°，

又∵OB=OD，

∴∠OBD=∠D，

又∠CBF=∠D，

∴∠CBF=∠OBD，

∴∠OBF=90°，即OB⊥BF，

∴FB是圆的切线；

（2）解：∵CD是圆的直径，CD⊥AB，

∴BE=AB=4，

设圆的半径是R，在直角△OEB中，根据勾股定理得：R²=（R﹣2）²+4²，

解得：R=5，

∵∠BOE=∠FOB，∠BEO=∠OBF，

∴△OBE∽△OBF，

∴OB²=OE•OF，

∴OF==，

则在直角△OBF中，sinF===．