Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC²=2CD•OE；

（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，BD，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为圆O的切线；

（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC²=AC•CD．

∴BC²=2CD•OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC==，

又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，

∴AC=．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．