Question

（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A₁B₁D₁E₁（D₁、E₁在AB上，A₁、B₁分别在AC、BC上），再在△A₁B₁C内接同样的方法作第2个内接正方形A₂B₂D₂E₂，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A_nB_nD_nE_n 的边长是

1

3(n-1)

．

Answer 1

分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A_nB_nD_nE_n 的边长．

解答：解：∵∠A=∠B=45°，
∴AE₁=A₁E=A₁B₁=B₁D₁=D₁B，
∴第一个内接正方形的边长=

1

3

AB=1；
同理可得：
第二个内接正方形的边长=

1

3

A₁B₁=

1

9

AB=

1

3

；
第三个内接正方形的边长=

1

3

A₂B₂=

1

27

AB=

1

9

；
故可推出第n个小正方形A_nB_nD_nE_n 的边长=

1

3n

AB=

1

3(n-1)

．
故答案为：

1

3(n-1)

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．