Question

如图所示，在平面直角坐标系中，双曲线y=（x＜0）上有一点A（﹣2，2），AB⊥y轴于点B，点C是x轴正半轴上一动点，直线CB交双曲线于点D，DE⊥x轴于点E，连接AE，AD，BE．

（1）当点C运动时，四边形ADBE的形状能变成菱形吗？如果能，求出此时点C的位置，若不能，说明理由．

（2）小明经过探究发现：点C运动会影响四边形ADBE形状，但是AD与BE的位置关系始终不变，请你帮他解释其中的原因．

Answer 1

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）若四边形ADBE为菱形，则AB与DE互相垂直平分，则B和D的坐标可求得，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，进而求得C的坐标；

（2）设D的坐标是（a，﹣），利用利用待定系数法即可求利用a表示出AD和BE的解析式，根据直线平行的条件即可判断．

【解答】解：（1）若四边形ADBE为菱形，则AB与DE互相垂直平分，

由题意得，A（﹣2，2），B（0，2）．

则反比例函数的解析式是y=﹣，E（﹣1，0）D（﹣1，4）．

设直线BD的解析式是y=kx+b，

将B（0，2），D（﹣1，4）代入y=kx+b，可得：，

解得：，

则直线BD的解析式是y=﹣2x+2，

所以C的坐标是（1，0）；

（2）设D的坐标是（a，﹣），直线AD的解析式是y=kx+b，则E（a，0）．

将A（﹣2，2），D（a，﹣）代入可得：，

解得：，

则直线AD的解析式是y=﹣x+（2﹣）．

同理可得直线BE的解析式是y=﹣x+2，

∴AD和BE始终平行．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和直线的解析式，正确利用a表示出AD和BE的解析式是解决本题的关键．