Question

13．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从D向A以1cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）在点P，Q运动过程中，四边形QAPC的面积变化吗？请说明理由．
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的判定方法得到AQ=AP，即6-t=2t，然后解方程求出t即可；
（2）利用面积的和差可计算出四边形QAPC的面积=36，从而可判断四边形QAPC的面积不变化；
（3）讨论：利用相似三角形的判定方法，当$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{AP}{BA}$时，△AQP∽△BCA或当$\frac{AQ}{BA}$=$\frac{AP}{BA}$时，△AQP∽△BAC，然后利用相似比分别得到关于t的方程，然后解方程求出t即可．

解答 解：（1）AP=2t，DQ=t，则AQ=AD-DQ=6-t，
当AQ=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6-t=2t，解得t=3，
所以当t为3s时，△QAP为等腰直角三角形；
（2）在点P，Q运动过程中，四边形QAPC的面积不变化．
理由如下：四边形QAPC的面积=S_矩形ABCD-S_△PBC-S_△CDQ=6×12-$\frac{1}{2}$×（12-2t）×6-$\frac{1}{2}$×12×t=36；
（3）∵∠QAP=∠ABC=90°，
∴当$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{AP}{BA}$时，△AQP∽△BCA，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{12}$，解得t=3；
当$\frac{AQ}{BA}$=$\frac{AP}{BA}$时，△AQP∽△BAC，
即$\frac{6-t}{12}$=$\frac{2t}{6}$，解得t=$\frac{6}{5}$，
综上所述，当t为3s或$\frac{6}{5}$s时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题考查了相似三角形的综合题：熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质．会利用代数法解决动点问题，利用分类讨论的思想解决数学问题．