Question

已知抛物线C：y=ax²+bx+c（a<0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．
（1）如图（1），若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；
（2）如图（2），若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得的点P的坐标。

（1）                                         （2）

Answer 1

解：（1）连接AB，
∵A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，
∴AO=AB，
又∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
过A作AD⊥x轴于D，
在Rt△OAD中，易求出OD=2，AD=，
∴ 顶点A的坐标为（2，），
设抛物线C的解析式为（a≠0），
将O（0，0）的坐标代入，可求a=，
∴抛物线C的解析式为；
（2）过A作AE⊥OB于E，
∵抛物线C：，
过原点和B（4，0），顶点为A，
∴OE=OB=2，
又∵直线OA的解析式为y=x，
∴AE=OE=2，
∴点A的坐标为（2，2），
将A、B、O的坐标代入中，易求a=-，
∴抛物线C的解析式为，
又∵抛物线C、C′关于原点对称，
∴抛物线C′的解析式为；
（3）作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），
由前可知，抛物线C′的顶点为A′（-2，-2），
故A′B的中点M的坐标为（1，-1），
作MH⊥x轴于H，易证△MHN∽△BHM，
则，即，
∴，
即N点的坐标为（，0），
∵直线l过点M（1，-1）、N（，0），
∴直线l的解析式为，
解得，，
∴在抛物线C上存在两点使得，
其坐标分别为 P₁（，），P₂（，），
解得，，
∴在抛物线C′上也存在两点使得，其坐标分别为P₃（-5+，17-3），P₄（-5-，17+3）。