Question

【题目】（发现问题）爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值

（解决问题）小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．

（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；

（2）求线段OC的最大值．

（灵活运用）

（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

（迁移拓展）

（4）如图③，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．

Answer 1

【答案】（1）结论：OC＝AE，理由见解析；（2）OC的最大值为3；（3）最大值为2+3；P（2﹣，）；（4）AC的最大值为2+2， 2﹣2．

【解析】

（1）结论：，只要证明即可；

（2）利用三角形的三边关系即可解决问题；

（3）连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，，根据当在线段的延长线时，线段取得最大值，即可得到最大值为，过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；

（4）如图4中，以为边作等边三角形，由，推出，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出点在以为直径的上运动，由图象可知，当点在上方，时，的值最大.

（1）如图①中，结论：OC＝AE，

理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，

∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，

∴∠CBO＝∠ABE，

∴△CBO≌△ABE，

∴OC＝AE．

（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，

∴当E、O、A共线，

∴AE的最大值为3，

∴OC的最大值为3．

（3）如图1，连接BM，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），

∴OA＝2，OB＝5，

∴AB＝3，

∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，

∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值为2+3；

如图2，过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，

∴P（2﹣，）．

（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，

∵∠ABD＝∠CBM＝60°，

∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，

∴△ABC≌△DBM，

∴AC＝MD，

∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，

∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，

∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，

由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2，

∴AC的最大值为2+2．

当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2﹣2．