Question

已知：如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB， O是AB的中点，点D在BA的延长线上，以D为直角顶点作RT△DEF, FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

Answer 1

解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下：

连接CO，则CO是AB边上的中线．

∵∠ACB=90°，∴OC=AB=OB，……………（2分）

又∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠2=∠B，∵BN⊥DE，∴∠BND=90°，

又∵∠B=45°，∴∠3=45°，

∴∠3=∠B，∴DN=NB．……………（2分）

∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°．又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°

∴四边形DMCN是矩形，∴DN=MC，

∴MC=NB，……………（2分）

∴△MOC≌△NOB（SAS），……………（2分）

∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，即∠MON=∠BOC=90°，

∴OM⊥ON．……………（2分）