Question

如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．

（1）图中是否存在与△ODM相似的三角形，若存在，请找出并给于证明。

（2）设DM = x，OA=R，求R关于x 的函数关系式；是否存在整数R,使得正方形ABCD内部的扇形OAM围成的圆锥地面周长为p ，若存在请求出此时DM的长；不存在，请说明理由。

（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由.

Answer 1

解（1）∵MN切⊙O于点M，∴   ………………… 1分

∵

∴   …………………………… 1分

又∵∴△∽△， ……1分

（2）在Rt△中，，设；

∴， ………………………1分

由勾股定理得：，……………… 1分

∴，∴；  ……………… 1分

∵4＜OA＜8即4＜R＜8

∴当R=5时，∠MOA超过180⁰，不符合，舍去……………… 1分

当R=6时，∠MOA=160^0，∴

∵＞0，^，∴                       ……………… 1分

同理当R=7时，x=                         ……………… 1分

（3）∵，又

且有△∽△， ∴， ∴代入得到； …………… 1分

同理，∴代入得到；  ……………………………………2分

∴△CMN的周长为P=

                  ．………………1分

在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．