Question

（1）已知：如图①RT△ABC中，∠ACB=90°，ED垂直平分AC交AB与D，求证： DA=DB=DC。
（2）利用上面小题的结论，继续研究：如图②，点P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，FP与MN交于点K.当P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，请问此时FP平分∠HFG吗？请说明理由。

Answer 1

证明：作DF⊥BC于F，得∠DFB=∠DFC=90° 又∵∠ACB=90°， ∴DF∥AC ∴∠CDF=∠ECD，∠FDB=∠A ∵ED垂直平分AC， ∴DA=DC ∴∠ECD =∠A， ∴∠CDF=∠FDB ∴△DFB≌△DFC ∴DA=DB=DC 解：FP平分∠HFG， 证明：  ∵PM⊥FH，PN⊥FG， ∴△MPF和△NPF都是直角三角形 作线段MF的垂直平分线交FP于点O，由（1）中所证可知OF=OP=OM 作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O ∴OM=OP=OF=ON 又∵MN⊥FP， ∴∠OKM=∠OKN ∴PT△OKM≌RT△OKN； ∴MK=NK ∴△FKM≌△FKN； ∴∠MFK=∠NFK