题目内容

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线 $数学公式$ ，抛物线与x轴的交点为A，B，与y轴交于点C．抛物线的顶点为M，直线MC的解析式是 $数学公式$ ．
（1）求顶点M的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）以线段AB为直径作⊙P，判断直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

解：（1）把 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ 中得，
$\text{[math]}$ ，
∴点M的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（2）把x=0代入 $\text{[math]}$ 中得y=-2，即点C的坐标为（0，-2），
由题意可设抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ，
把（0，-2）代入得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ；

（3）如图，连接PC，过M作MN⊥y轴于N，
则OP= $\text{[math]}$ ，OC=2，MN= $\text{[math]}$ ，NC= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴PC= $\text{[math]}$ AB，即点C在圆上，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴PM²=MC²+PC²
∴PC⊥MC，即直线MC与⊙P相切．
分析：（1）将抛物线的对称轴线直线MC的解析式是 $\text{[math]}$ 联立即可解得顶点M的坐标；
（2）先求出C点坐标，在根据M、C两点坐标即可求得抛物线的解析式；
（3）连接PC，过M作MN⊥y轴于N，求得PM²=MC²+PC²即可证明直线MC与⊙P相切．
点评：本题是二次函数的综合题，题中涉及圆与直线的位置关系等知识点，解题时要注意数形结合数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．