Question

（2013•黄浦区二模）如图，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tanD=

4

3

，E是腰AD上一点，且AE：ED=1：3．
（1）当AB：CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；
（2）当∠ABE=∠BCE时，求线段BE的长；
（3）当△BCE是直角三角形时，求边AB的长．

Answer 1

分析：（1）作梯形的高AH，BG，根据正切的定义得到

AH

DH

=

4

3

，设AH=3t，DH=4t，根据勾股定理计算出AD=5t，5t=10，解得t=2，则DH=6，AH=8，设AB=x，CD=3x，
所以6+x+6=3x，解得x=6，然后根据梯形的面积公式计算梯形ABCD的面积；
（2）作Ek∥CD交BC于k，由AE：ED=1：3，AD=10得到AE=

5

2

，ED=

15

2

，由AB∥CD得到∠ABE=∠BEK，由于∠ABE=∠BCE，所以∠BEK=∠BCE，于是可判断△BEK∽△BCE，BE²=BK：BC根据等腰梯形的性质BK=AE=

5

2

，则BE²=BK：BC=

5

2

×10，即可计算出BE=5；
（3）分类讨论：当∠EBC=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，由AB∥DF得到AB：DF=AE：ED=1：3，即DF=3AB，设AB=x，则DF=3x，HG=x，易证得Rt△FBG∽Rt△BGC，则BG²=GF•GC，即8²=（3x+6+x）×6，解得x=

7

6

；当∠CEB=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，作EM⊥CD于M，设AB=x，则DF=3x，DC=12+x，
在Rt△EDN中，ED=

15

2

，tan∠EDN=

4

3

=

EN

DN

，利用勾股定理可计算出EN=6，DN=

9

2

，则NC=12+x-

9

2

=x+

15

2

，易证得Rt△FEN∽Rt△ECN，EN²=NF•NC，即6²=（3x+

9

2

）（12+

15

2

），然后解方程可得到AB的长．

解答：解：（1）作梯形的高AH，BG，如图1
∵AD=10，tanD=

4

3

，
∴

AH

DH

=

4

3

，
设AH=3t，DH=4t，则AD=

AH2+DH2

=5t，
∴5t=10，解得t=2，
∴DH=6，AH=8，
同理得到BG=8，CG=6，
由AB：CD=1：3，设AB=x，CD=3x，
∴6+x+6=3x，解得x=6，
∴梯形ABCD的面积=

1

2

（AB+CD）•AH=

1

2

•（x+3x）×8=

1

2

×24×8=96；

（2）作Ek∥CD交BC于k，如图1，
∵AE：ED=1：3，AD=10，
∴AE=

5

2

，ED=

15

2

，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEK，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠BEK=∠BCE，
∴△BEK∽△BCE，
∴BE：BC=BK：BE，即BE²=BK：BC，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴BK=AE=

5

2

，
∴BE²=BK：BC=

5

2

×10，
∴BE=5；

（3）△BCE是直角三角形，
当∠EBC=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，如图2，
∵AB∥DF，
∴AB：DF=AE：ED=1：3，
∴DF=3AB，
设AB=x，则DF=3x，HG=x，
∵Rt△FBG∽Rt△BGC，
∴BG²=GF•GC，即8²=（3x+6+x）×6，解得x=

7

6

，
即边AB的长为

7

6

；
当∠CEB=90°时，延长BE交CD的延长线于F点，作EM⊥CD于M，如图3，
设AB=x，则DF=3x，DC=12+x，
在Rt△EDN中，ED=

15

2

，tan∠EDN=

4

3

=

EN

DN

，
设EN=4a，则DN=3a，
∴ED=

EN2+DN2

=5a，
∴5a=

15

2

，解得a=

3

2

，
∴EN=6，DN=

9

2

，
∴NC=12+x-

9

2

=x+

15

2

，
∵Rt△FEN∽Rt△ECN，
∴EN²=NF•NC，即6²=（3x+

9

2

）（12+

15

2

），
整理得x²+9x-

3

4

=0，解得x₁=

21

-

9

2

，x₂=-

21

-

9

2

（舍去），
∴AB=

21

-

9

2

，
∴边AB的长为

7

6

或

21

-

9

2

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握等腰梯形的性质和平行线线分线段成比例定理；会运用三角形相似的判定与性质和勾股定理进行几何计算．