题目内容

若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－，x1·x2＝．我们把它们称为根与系数关系定理．

如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

AB＝|x1－x2|＝＝＝＝．

请你参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．

(1)当△ABC为等腰直角三角形时，求b2－4ac的值；

(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值；

答案：
解析：

　　(1)解：当为等腰直角三角形时，过作，垂足为，

　　则　2分

　　∵抛物线与轴有两个交点，∴，

　　∴　4分

　　∵

　　又∵，

　　∵，

　　∴　6分

　　∴

　　∴

　　∴　9分

　　(2)当为等边三角形时，由(1)可知

　　CD＝AB　10分

　　∴＝11分

　　∴b2－4ac＝12　12分


练习册系列答案
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7、若x1、x2是关于x的方程x2+bx-3b=0的两个根，且x12+x22=7．那么b的值是（　　）
若x1和x2是关于x的方程x2-（a-1）x-b2+b-1=0的两个相等的实数根，则x1=x2=
 
．
若x1，x2是关于x的方程x2-kx+5（k-5）=0的两个正实数根，且满足2x1+x2=7，则实数k的范围是（　　）
先阅读，再填空解答：
方程x2-3x-4=0的根为x1=-1，x2=4，x1+x2=3，x1x2=-4；
方程3x2+10x+8=0的根为x1=-2，x2=-
4
3
，x1+x2=-
10
3
，x1x2=
8
3
．
（1）方程2x2+x-3=0的根是x1=
-
3
2
-
3
2
，x2=
1
1
，x1+x2=
-
1
2
-
1
2
，x1x2=
-
3
2
-
3
2
．
（2）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，那么x1+x2，x1x2与系数a、b、c的关系是：x1+x2=
-
b
a
-
b
a
，x1x2=
c
a
c
a
．
（3）当你轻松解决以上问题时，试一试下面这个问题：甲、乙两同学解方程x2+px+q=0时，甲看错了一次项系数，得根2和7，乙看错了常数项，得根1和-10，则原方程中的p、q到底是多少？你能写出原来的方程吗？
若x1和x2是关于x的方程x2-（a-1）x-
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b2+b-1=0的两个相等的实数根，则x1=x2=
0
0
．

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