Question

【题目】阅读理解：在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；

若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．

例如：点P1（1，1），点P2（2，3），因为|1﹣2|＜|1﹣3|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|1﹣3|＝2，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．

（1）已知点A（-，0），B为y轴上的一个动点．

①若点B（0，3），则点A与点B的“非常距离”为______；

②若点A与点B的“非常距离”为2，则点B的坐标为_______；

③直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值为_______；

（2）已知点D（0，1），点C是直线y＝﹣x+3上的一个动点，如图2，求点C与点D“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①3；②（0，2）或（0，﹣2）；③；（2）（，）.

【解析】

（1）根据“非常距离”的定义分别计算|x1﹣x2|与|y1﹣y2|，即可得答案；②根据点B位于y轴上，设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义求得y的值即可；③分别讨论-≤y≤时和y<-或y>时A与B的“非常距离”即可得答案；（2）设点C的坐标为(x0，-x0+3)．根据材料“若，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，据此可以求得点C的坐标；

（1）①，|0﹣3|＝3，

∵<3，

∴点A与点B的“非常距离”为3，

②∵B为y轴上的一个动点，

∴设点B的坐标为（0，y）．

∵≠2，

∴|0﹣y|＝2．

解得，y＝2或y＝﹣2；

∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2），

③设点B坐标为（0，y），

当-≤y≤时，|0﹣y|≤，

∴“非常距离”为，

当y<-或y>时，|0﹣y|>

∴“非常距离”为|y|>，

∴点A与点B的“非常距离”的最小值为，

故答案为：3，（0，2）或（0，﹣2），

（2）如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，

根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的‘非常距离’为|x1﹣x2|”解答，

此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|．即AC=AD，

∵C是直线y=-x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），

∴设点C的坐标为(x0，-x0+3)，则

∴或x0＝6，

∴或|x0﹣0|＝6．

∵<6，

∴点C与点D的“非常距离”的最小值为，

∴-×+3=，

∴C(，)，