Question

【题目】如图，，点、分别在、上运动（不与点重合）．

（1）如图1，是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点．

①若，则为多少度？请说明理由．

②猜想：的度数是否随、的移动发生变化？请说明理由．

（2）如图2，若，，则的大小为 度（直接写出结果）；

（3）若将“”改为“（）”，且，，其余条件不变，则的大小为 度（用含、的代数式直接表示出米）．

Answer 1

【答案】（1）①45°，理由见解析；②∠D的度数不变；理由见解析（2）30 ；（3）

【解析】

（1）①先求出∠ABN=150°，再根据角平分线得出∠CBA=∠ABN=75°、∠BAD=∠BAO=30°，最后由外角性质可得∠D度数；

②设∠BAD=α，利用外角性质和角平分线性质求得∠ABC=45°+α，利用∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；

（2）设∠BAD=α，得∠BAO=3α，继而求得∠ABN=90°+3α、∠ABC=30°+α，根据∠D=∠ABC-∠BAD可得答案；

（3）设∠BAD=β，分别求得∠BAO=nβ、∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ、∠ABC=+β，由∠D=∠ABC-∠BAD得出答案．

解：（1）①45°

∵∠BAO=60°，∠MON=90°，

∴∠ABN=150°，

∵BC平分∠ABN、AD平分∠BAO，

∴∠CBA=∠ABN=75°，∠BAD=∠BAO=30°

∴∠D=∠CBA-∠BAD=45°，

②∠D的度数不变．

理由是：设∠BAD=α，

∵AD平分∠BAO，

∴∠BAO=2α，

∵∠AOB=90°，

∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+2α，

∵BC平分∠ABN，

∴∠ABC=45°+α，

∴∠D=∠ABC－∠BAD=45°+α-α=45°；

（2）设∠BAD=α，
∵∠BAD=∠BAO，
∴∠BAO=3α，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=90°+3α，
∵∠ABC=∠ABN，
∴∠ABC=30°+α，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=30°+α-α=30°；

（3）设∠BAD=β，
∵∠BAD=∠BAO，
∴∠BAO=nβ，
∵∠AOB=α°，
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO=α+nβ，
∵∠ABC=∠ABN，
∴∠ABC=+β，
∴∠D=∠ABC-∠BAD=+β-β=.