Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1 ， C2两段组成，如图2所示.

（1）求a的值；
（2）求图2中图象C2段的函数表达式；
（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）

解：在图1中，过P作PD⊥AB于D，∵∠A=30°，PA=2x，

∴PD=PA·sin30°=2x· =x，

∴y= = .

由图象得，当x=1时，y= ，则 = .

∴a=1.

（2）

解：当点P在BC上时（如图2），PB=5×2-2x=10-2x.

∴PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB，

∴y= AQ·PD= x·（10-2x）·sinB.

由图象得，当x=4时，y= ,

∴ ×4×（10-8）·sinB= ，

∴sinB= .

∴y= x·（10-2x）· = .

（3）

解：由C1，C2的函数表达式，得 = ，

解得x1=0（舍去），x2=2，

由图易得，当x=2时，函数y= 的最大值为y= .

将y=2代入函数y= ，得2= .

解得x1=2，x2=3，

∴由图象得，x的取值范围是2<x<3.

【解析】（1）C1段的函数解析式是点P在AC线段时y与x的关系，由S= AQ·（AQ上的高），而AQ=ax，由∠A=30°，PA=2x，可过P作PD⊥AB于D，则PD=PA·sin30°=2x· =x，则可写出y关于x的解析式，代入点（1， ）即可解出；（2）作法与（1）同理，求出用sinB表示出PD，再写出y与x的解析式，代入点（4， ），即可求出sinB，即可解答；（3）题中表示在某x的取值范围内C1<C2 ， 即此时C2的y值大于C1的y值的最大值，由图易得，当x=2时，函数y= 的最大值为y= .将y=2代入函数y= ，求出x的值，根据函数y= ，的开口向下，则可得x的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．