题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，连接AC、BC，tan∠CAO= $数学公式$ ，tan∠CBO= $数学公式$ ，AB=5．
（1）求点C的坐标；
（2）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向终点B匀速运动，过点P作PH⊥BC于点H，直线PH与CA的延长线交于点E，设PE的长为y（y≠0），点P的运动时间为t秒，求y与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当 $数学公式$ 时，求t的值，并判断此时以点B为圆心，以PE长为半径的⊙B与直线PH的位置关系，请说明理由．

解：（1）∵tan∠CAO= $\text{[math]}$ ，tan∠CBO= $\text{[math]}$ ，AB=5，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OC=4，OA=3．
又∵点C在y轴上，
∴点C的坐标是：C（0，4）；

（2）由（1）知，OC=4，OA=3，则在Rt△OAC中，由勾股定理求得AC=5．
∵AB=5，
∴AC=AB=5，
∴在Rt△OBC中，OC=4，OB=8，根据勾股定理求得BC=4 $\text{[math]}$ ．
如图1，过点A作AF⊥BC于点F．则CF=BF=2 $\text{[math]}$ ．
∴在Rt△ABF中，AF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵PE⊥BC，
∴AF∥EH．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，①
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，②
由①②求得，y= $\text{[math]}$ t（0＜t≤ $\text{[math]}$ ）；

（3）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由（2）知，AF∥EH．则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得BH= $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得，t= $\text{[math]}$ ．
此时，直线PH与⊙B相切．理由如下：
∵由（2）知，y= $\text{[math]}$ t，
∴PE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴PE=BH= $\text{[math]}$ ，即BH是⊙B的半径．
又∵PH⊥BH，
∴PH与⊙B相切．
分析：（1）利用正切三角形函数的定义和OB=OA+AB求得OC=4，从而求得点C的坐标．
（2）易证△ABC是等腰三角形，所以根据等腰三角形“三合一”的性质作辅助线AF⊥BC于点F，则AF∥EP．所以由平行线分线段成比例来求y与t的函数关系式即可；
（3）由已知条件易证 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．然后根据（2）中的“平行线截线段成比例”列出比例式 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，然后将相关数值代入来求t的值；通过计算PE=BH= $\text{[math]}$ ，所以BH是⊙B的半径，又由PH⊥BH知，以PE长为半径的⊙B与直线PH相切．
点评：本题考查了圆的综合题．解答该题时，用到了坐标与图形的性质、平行线截线段成比例、切线的判定与性质等知识点．在解答（2）题时，也可以利用相似三角形的判定与性质来求y与t的函数关系式．