Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2

2

，AD=1．点P在AC上，PQ⊥BP，交CD于Q，PE⊥CD，交于CD于E．点P从A点（不含A）沿AC方向移动，直到使点Q与点C重合为止．
（1）设AP=x，△PQE的面积为S．请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围．
（2）点P在运动过程中，△PQE的面积是否有最大值？若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点P作PF⊥BC，垂足为F，易证△PFC∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出BC、AB．证明△ABK∽△ACB，根据相似三角形的对应边的比相等就可以求解．
（2）△PQE面积有最大值，就是求函数的最值问题，根据函数的性质就可以求解．

解答：解：（1）过点P作PF⊥BC，垂足为F．
∵在矩形ABCD中，PF∥AB
∴△PFC∽△ABC（1分）
∴

FC

BC

=

PC

AC

=

PF

AB

又∵AP=x，BC=AD=1，AB=2

2

又∵在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

(2 2 )2+12

=3
∴PC=3-x
∴

FC

1

=

3-x

3

∴FC=

3-x

3

BF=BC-FC=1-

3-x

3

=

x

3

（2分）
又∵PE⊥CD
∴∠PEC=90°
又在四边形PFCE中，∠PFC=∠BCD=∠PEC=90°
∴四边形PFCE为矩形
∴∠FPE=90°
又∵PQ⊥BP
∴∠BPQ=90°
∴∠FPE=∠BPQ
∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ
∴∠EPQ=∠BPF又∠PEQ=∠BFP=90°
∴△PEQ∽△PFB（3分）
∴

EQ

BF

=

PE

PF

又∵PE=FC
∴

EQ

BF

=

FC

PF

又∵

FC

BC

=

PF

AB

∴

FC

PF

=

BC

AB

∴

EQ

BF

=

BC

AB

∴EQ=

BC•BF

AB

∴EQ=

1

2 2

×

x

3

=

2

12

x（4分）
∴S=

1

2

EQ•PE=

1

2

×

2 x

12

•

3-x

3

∴S=-

2

72

x2+

2

24

x或S=

2

72

(-x2+3x)（5分）
过点B作BK⊥AC，垂足为K．
在Rt△ABC中，由等积法可得

1

2

AC•BK=

1

2

AB•BC（6分）
∴AC•BK=AB•BC
∴BK=

AB•BC

AC

=

2 2

3

由题意可得当Q与C重合时，P与K重合即AP=AK，
由△ABK∽△ACB
得

AK

BK

=

AB

BC

即

x

2 3 2

=

2 2

1

∴x=

8

3

∴x的取值范围是0＜x≤

8

3

（7分）

（2）△PQE面积有最大值（8分）
由（1）可得S=-

2

72

x2+

2

24

x=-

2

72

(x-

3

2

)2+

2

32

（9分）
∴当x=

3

2

即AP=

3

2

时，S面积最大，即S_最大=

2

32

．（10分）

点评：本题是函数与三角形的相似相结合的题目，难度较大．