题目内容

已知A₁、A₂、A₃是抛物线y= $数学公式$ x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y= $数学公式$ x²改为抛物线y= $数学公式$ x²-x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y= $数学公式$ x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

解：（1）方法一：∵A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A₁B₁= $\text{[math]}$ ×1²= $\text{[math]}$ ，A₂B₂= $\text{[math]}$ ×2²=2，A₃B₃= $\text{[math]}$ ×3²= $\text{[math]}$
设直线A₁A₃的解析式为y=kx+b．
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
∴直线A₁A₃的解析式为y=2x- $\text{[math]}$ ，
∴CB₂=2×2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴CA₂=CB₂-A₂B₂= $\text{[math]}$ -2= $\text{[math]}$ ．
方法二：∵A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A₁B₁= $\text{[math]}$ ×1²= $\text{[math]}$ ，A₂B₂= $\text{[math]}$ ×2²=2，A₃B₃= $\text{[math]}$ ×3²= $\text{[math]}$
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂= $\text{[math]}$ （A₁B₁+A₃B₃）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∴CA₂=CB₂-A₂B₂= $\text{[math]}$ -2= $\text{[math]}$ ．

（2）方法一：设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，
则A₁B₁= $\text{[math]}$ （n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂= $\text{[math]}$ n²-n+1，
A₃B₃= $\text{[math]}$ （n+1）²-（n+1）+1
设直线A₁A₃的解析式为y=kx+b．
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线A₁A₃的解析式为y=（n-1）x- $\text{[math]}$ n²+ $\text{[math]}$ ．
∴CB₂=n（n-1）- $\text{[math]}$ n²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ n²-n+ $\text{[math]}$
∴CA₂=CB₂-A₂B₂= $\text{[math]}$ n²-n+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ n²+n-1= $\text{[math]}$
方法二：设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1．
则A₁B₁= $\text{[math]}$ （n-1）²-（n-1）+1，
A₂B₂= $\text{[math]}$ n²-n+1，
A₃B₃= $\text{[math]}$ （n+1）²-（n+1）+1
由已知可得A₁B₁∥A₃B₃，
∴CB₂= $\text{[math]}$ （A₁B₁+A₃B₃）
= $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ （n-1）²-（n-1）+1+ $\text{[math]}$ （n+1）²-（n+1）+1]
= $\text{[math]}$ n²-n+ $\text{[math]}$
∴CA₂=CB₂-A₂B₂= $\text{[math]}$ n²-n+ $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ n²-n+1）= $\text{[math]}$ ．

（3）当a＞0时，CA₂=a；
当a＜0时，CA₂=-a．
分析：（1）A₁、A₂、A₃是抛物线y= $\text{[math]}$ x²上的三点，A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，代入函数解析式就可以求出三个点的坐标，再根据待定系数法就可以求出直线A₁A₃的解析式．求出直线B₂A₂与A₁A₃的交点坐标，进而求出A₂C的长．
（2）设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n-1、n、n+1，可以采用与第一问相同的方法解决．
点评：本题主要考查了函数图象上的点与解析式的关系，点在图象上，就一定满足函数的解析式．